34. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения icon

34. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения




Скачать 232.63 Kb.
Название34. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения
Дата конвертации16.09.2012
Размер232.63 Kb.
ТипДокументы
1. /БИЛЕТЫ.DOC
2. /Ответы.doc
Случайные события и их виды, понятие вероятности
34. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения


34. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительный интервал – это интервал, который с заданной надежностью гамма покрывает заданный параметр. 1. Интервальной оценкой с надежностью гамма мат. ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней Хв при известном среднем квадратическом отклонении сигма генеральной совокупности служит доверительный интервал: Хв – t(сигма/корень из n)1. 3. Интервальной оценкой ( с надежностью гамма) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте w служит доверительный интервал ( с приближенными концами р1 и р2).


1. Случайные события и их виды, понятие вероятности.

1. Классическая формула подсчета вероятностей. Комбинаторика

1. Понятие геометрической и статистической вероятностей.

2. Пространство элементарных событий, операции над событиями.

3. Аксиоматическое определение вероятности.

3. Теорема сложения вероятностей.

4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

5. Формула полной вероятности.

5. Формула Байеса.

5-6. Определение дискретной случайной величины. Ряд распределения

6. Функция распределения С.В. и ее свойства.

7. Математическое ожидание Д.С.В. и его свойства.

7. Дисперсия Д.С.В. и ее свойства.

8. Схема опытов Бернулли. Биномиальный закон распределения.

8. Закон распределения Пуассона, пуассоновское распределение как предельное для биномиального.

8. Геометрический закон распределения Д.С.В.

9. Определение непрерывной С.В. Плотность распределения и ее свойства.

10. Математическое ожидание Н.С.В. и его свойства.

10. Дисперсия Н.С.В. и ее свойства.

11. Равномерный закон распределения.

11. Показательный закон распределения.

12. Нормальный закон распределения.

13-14. Функция Лапласа, ее свойства; вероятность попадания в интервал для нормального распределения С.В.

15. Неравенство Чебышева.

15-16. Теоремы Маркова и Чебышева.

17. Центральная предельная теорема, следствия (теорема Муавра-Лапласа).

18. Двумерная С.В. Двумерная функция распределения и ее свойства.

19. Условные и безусловные законы распределения компонент двумерной С.В.

19-20. Корреляционный момент, коэффициент корреляции.

21. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность и выборка.

22. Выборочное оценивание функции распределения и гистограмма.

22-23. Точечные оценки числовых характеристик. Основные определения. Метод моментов.

24. Метод наибольшего правдоподобия.

25. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения.






1. Случайные события и их виды, понятие вероятности.

Случайным естественно называть такое событие, которое при заданном комплексе условий может, как произойти так и не произойти. Мера возможности осуществления такого события и есть его вероятность. Достоверное и невозможное события могут рассматриваться как крайние частные случаи случайных событий. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет при осуществлении определенного комплекса условий. Так, например, вода при нормальных атмосферных условиях и 0 замерзает. Невозможным является событие, которое при заданном комплексе условий никогда не произойдет. Таким образом, вероятность – это шансы осуществления любого составного события, состоящего из нескольких элементарных.

2. Классическая формула подсчета вероятностей. Комбинаторика.

В общем случае, когда имеется n равновозможных элементарных событий w1,…,wn, вероятность любого составного события А, состоящего из m элементарных событий wi1,…,wim, определяется как отношение числа элементарных событий, благоприятствую­щих событию А, к общему числу элементарных событий, т.е. P(A)=m/n.

3. Понятие геометрической и статистической вероятностей.

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством: P=Длина l/Длина L. Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка.

Если предположить, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g, то вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством: P=площадь g/площадь G. Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру v, которая составляет часть фигуры V: P=Объем v/Объем V.

4. Пространство элементарных событий, операции над событиями.

При общем определении вероятности используется пространство элементарных событий, при этом элементарные события являются неопределяемым понятием, но относительно них предполагается, что в результате испытаний обязательно происходит одно из этих элементарных событий. Элементарные события попарно не совместны и образуют группу событий. События, не являющиеся элементарными, отождествляются с теми элементарными событиями, которые благоприятствуют ему, следовательно, случайные события можно рассматривать как подмножество в пространстве элементарных событий, поэтому операции над случайными событиями: объединение (сложение), пересечение (умножение), эквивалентность, отрицание – полностью совпадают с соответствующими операциями над множествами. Операции объединения и пересечения множеств симметричны, т.е.

AB = BA AB = BA


7. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Условная вероятность события А при условии В равна Р(А/B)=P(A*B)/P(B), Р(В)>0. 2) Событие А не зависит от события В, если Р(А/B)=P(A). Независимость событий взаимна, т.е. если событие А не зависит от В, то событие В не зависит от А. В самом деле при Р(А)>0 имеем Р(B/A)=P(A*B)/P(A)=P(A/B)*P(B)/P(A)=P(A)*P(B)/P(A)=P(B). Вытекает следующая формула умножения вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В/A). Для независимых событий вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В). 3) События А1,А2,…,Аn образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и вместе образуют достоверное событие, т.е. Аi*Aj=0, i не=j, U по i от 1 до n Аi=омега. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ)=Р(А)*Ра(В). В частности для независимых событий Р(АВ)=Р(А)*Р(В), т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.



5. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностью называется числовая функция, определенная на поле событий S и обладающая следующими свойствами: Аксиома 1. Для любого события A прин. S Р(А)>=0. Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице Р (омега)=1. Аксиома 3. Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: А прин. S, В прин. S, А*В=0, Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Док-во: Событие А является подмножеством омега, так как А={wi1,…,wim},то, согласно конечной схеме, Р(А)=сумме по l от 1 до m рil, 0<=pil<=1, l=1,…,m, поэтому Р(А)>=0, т.е. условие аксиомы 1 выполняется. Условие аксиомы 2 выполняется, поскольку омега={w1,…,wn}и на основании того, что Р(А)=сумме по l от 1 до m рil, то Р(омега)=сумма по i от 1 до n pi=1. Условие аксиомы 3 также выполняется, так как оно представляет собой содержание теоремы сложения для конечной схемы. Итак, конечная схема является примером объекта, для которого выполняется система аксиом теории вероятностей.

6. Теорема сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС). Если два составных события А={wi1,…,wim}и В={wj1,…,wjk} являются несовместными, то вероятность объединенного события С=А+В равна сумме вероятностей этих двух событий.



8. Формула полной вероятности.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) В1,В2,…,Вn ,образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А: Р(А)=Р(В1)*Рb1(A)+P(B2)*Pb2(A)+…+P(Bn)=1. Если события А1,…,Аn, P(Ai)>0 образуют полную группу событий, то вероятность события В может быть представлена как сумма произведений безусловных вероятностей событий полной группы на условные вероятности события В: Р(В)=сумма по i от 1 до n P(Ai)*P(B/Ai).

9. Формула Байеса.

Из формулы полной вероятности легко получить формулу Байеса: для события В с Р(В)>0 и для системы попарно несовместных событий Аi, P(Ai)>0, B прин. U по i от 1 до n Аi . Р(Аk/B)=P(Ak)*P(B/Ak)/сумма по i от 1 до n P(Ai)*P(B/Ai).

10. Определение дискретной случайной величины. Ряд распределения.

Случайной величиной называется функция Х=Х(w), определенная на множестве элементарных событий омега, w прин. омега. С.В. дискретна, если она принимает значения только из некоторого дискретного множества, или, точнее, С.В. дискретна, если существует конечное или счетное множество чисел х1, х2, х3,… таких, что P{X=xn}=pn>=0, n=1,2,3… и р1+р2+р3+…=1.



Закон распределения Д.С.В. Х определен, если известны все хn и вероятности рn=P{X=xn} такие, что р1+р2+р3+…=1. Если составить таблицу, в верхней строке которой поместить значения Д.С.В. , а в нижней – соответствующие вер-ти, то получим ряд распределения С.В.

11. Функция распределения С.В. и ее свойства.

Функция распределения Fx(x) C.В. Х определяется формулой Fx(x)=P{w:X(w)<x}. Последнее равенство обычно записывается короче в виде Fx(x)=P{X=F(x1),если х2>х1. 4) Р{X>=x}=1 – F(x). 5) Если х стремится к бесконечности, то F(x) к 1. 6) Если х стремится к – бесконечности, то F(x) к нулю. 7) Ф.Р. непрерывна слева, т.е. lim при дельта стрем. к +0 F(x – дельта)=F(x).



12. Математическое ожидание Д.С.В. и его свойства.

Мат. Ожиданием Д.С.В. называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: М(Х)=х1р1+х2р2+…+хnpn. Если Д.С.В. принимает счетное множество возможных значений, то М(Х)=сумма по i от 1 до бесконечности xipi, причем мат. ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Мат. ожидание обладает следующими свойствами: 1) Мат. ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С. 2) Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания: М (СХ)=СМ (Х). 3) Мат. ожидание произведения взаимно независимых С.В. равно произведению мат. ожиданий сомножителей: М (Х1,Х2…Хn)=M(X1)*M(X2)…M(Xn). 4) Мат. ожидание суммы С.В. равно сумме мат. ожиданий слагаемых: М (Х1+Х2+Х3+…+Хn)=M(X1)+M(X2)+M(X3)+…+M(Xn).

13. Дисперсия Д.С.В. и ее свойства.

Дисперсией С.В. Х называют мат. ожидание квадрата отклонения С.В. от ее мат. ожидания: D (X)=M[XM(X)]*2. Дисперсию удобно вычислять по формуле: D (X)=M (X*2) – [M (X)]*2. Дисперсия обладает следующими свойствами: 1) Д. постоянной равна нулю: D(C)=0. 2) Постоянный множитель можно выносить за знак Д., предварительно возведя его в квадрат: D (CX)=C*2D(X). 3) Д. суммы независимых С.В. равна сумме Д. слагаемых: D (X1+X2+…+Xn) =D(X1)+D(X2)+…+D(Xn).



14. Схема опытов Бернулли. Биномиальный закон распределения.

Биномиальным называют закон распределения Д.С.В. Х - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, вер-ть возможного значения Х=k (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли: Pn (k)=Cn*k p*k q*n-k.

15. Закон распределения Пуассона, пуассоновское распределение как предельное для биномиального.

Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу: Pn (k)=лямда*k e*-лямда/k!, где к – число появлений события в n независимых испытаниях, лямда=np (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что С.В. распределена по закону Пуассона.

16. Геометрический закон распределения Д.С.В.

С.В. Х имеет геометрическое распределение, если Pm=P{X=m}=q*m p, m=0,1,2,…, 0


17. Определение непрерывной С.В. Плотность распределения и ее свойства.

С.В. Х называется непрерывной, если существует неотрицательная функция рх(х) такая, что при любых х функцию распределения Fx(x) можно представить в виде: Fx(x)=интеграл от –бесконечности до х px(y)dy. Рассматривают только такие С.В., для которых рх(х) непрерывна всюду, кроме, может быть, конечного числа точек. Плотностью распределения вероятностей непрерывной С.В. называют первую производную от функции распределения: f(x)=F’(x). Вероятность того, что Н.С.В. Х примет значение, принадлежащее интервалу (а,b), определяется равенством P(a=0. 2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от –бесконечности до бесконечности равен единице: интеграл от –бесконечности до бесконечности f(x)dx=1.



18. Математическое ожидание Н.С.В. и его свойства.

Мат. ожидание Н.С.В. Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: М(Х)=интеграл от –бесконечности до бесконечности хf(x)dx, где f(x) - плотность распределения С.В. Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (а,b), то М(Х)=интеграл от а до b xf(x)dx. Все свойства мат. ожидания, указаны выше, для Д.С.В. Они сохраняются и для Н.С.В.

19. Дисперсия Н.С.В. и ее свойства.

Дисперсия Н.С.В. Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: D(X)=интеграл от –бесконечности до бесконечности [x-M(X)]*2f(x)dx, или равносильным равенством: D(X)=интеграл от –бесконечности до бесконечности x*2f(x)dx – [M(X)]*2. В частности, если все возможные значения х принадлежат интервалу (a,b),то D(X)=интервал от а до b [x – M(X)]*2f(x)dx,или D(X)=интеграл от a до b x*2f(x)dx – [M(X)]*2. Все свойства дисперсии Д.С.В. сохраняются и для Н.С.В.



20. Равномерный закон распределения.

Равномерным называют распределение вероятностей Н.С.В. Х, если на интервале (а,b), которому принадлежат все возможные значения Х, плотность сохраняет постоянное значение, а именно f(x)=1/(b-a); вне этого интервала f(x)=0. Нетрудно убедиться, что интеграл от –бесконечности до бесконечности р(х)dx=1. Для С.В., имеющей равномерное распределение , вероятность того, что С.В. примет значения из заданного интервала (х,х+дельта) прин. [a,b], не зависит от положения этого интервала на числовой оси и пропорциональна длине этого интервала дельта: P{xb.

21. Показательный закон распределения.

Н.С.В. Х, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром лямда, если плотность распределения С.В. при x>=0 равна р(х)=лямда*е в степени - лямда*х и при x<0 р(х)=0. Функция распределения С.В. Х равна F(x)=интеграл от –бесконечности до х р(t)dt=0, при x<=0,1-е в степени –лямда*х при x>0.



22. Нормальный закон распределения.

Н.С.В. Х имеет нормальное распределение вероятностей с параметром а и сигма>0, если ее плотность распределения имеет вид: р(х)=1/(корень квадратный из 2пи *сигма) * е в степени –1/2*(x-a/сигма)*2. Если Х имеет нормальное распределение, то будем кратко записывать это в виде Х прибл. N(a,сигма). Так как фи(х)=1/(корень из 2пи)*е в степени –х*2/2 – плотность нормального закона распределения с параметрами а=0 и сигма=1, то функция Ф(х)=1/(корень из 2пи)* интеграл от –бесконечности до х е в степени –t*2/2dt, с помощью которой вычисляется вероятность P{a<=мюn-np/(корень из npq)<=b}, является функцией распределения нормального распределения с параметрами а=0, сигма=1.



23. Функция Лапласа, ее свойства; вероятность попадания в интервал для нормального распределения С.В.

СВ называется нормально распределенной, если ее плотность распределения имеет вид

f(x)=(1/(2))*e-(x-a)2/22; >0.

Функцией Лапласа называется функция вида(Z=x-a/)

Ф(Х)= . Аргумент—переменная верхнего предела.

Св-ва;

1. Функция Ф(х)—нечетная, т.е. Ф(-х_=-Ф(х)

2. Функция монотонно возрастает, т.е. х2>x1 следовательно, Ф(х2)>Ф(х1)

Ф(х2)=—> Ф(х2)>Ф(х1)

3. Ф(+)=0,5.Доказательство.

Ф()=

Ф-ция Ф(Х) возрастает и стремится к 0,5.

Вероятность попадания в интервал для НРСВ.

Пусть —НРСВ с пар. а и (>0).








24. Неравенство Чебышева.

Если известна дисперсия С.В., то с ее помощью можно оценить вероятность отклонения этой величины на заданное значение от своего мат. ожидания, причем оценка вероятности отклонения зависит лишь от дисперсии. Соответствующую оценку вероятности дает неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева является частным случаем более общего неравенства, позволяющего оценить вероятность события, состоящего в том, что С.В. Х превзойдет по модулю произвольное число t>0. P{|X – MX|>=t}<=1/t*2 M(X – MX)*2=1/t*2 DX – неравенство Чебышева. Оно справедливо для любых С.В., имеющих дисперсию; оценка вероятности в нем не зависит от закона распределения С.В. Х.

25. Теоремы Маркова и Чебышева.

Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых С.В. Х1,Х2,Х3,…,Xn,… имеет конечные мат. ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое С.В. сходится по вероятности к среднему арифметическому их мат. ожиданий, т.е. если эпселен – любое положительное число, то: lim при n стремящемся к бесконечности P(|1/n сумма по i от 1 до n Xi – 1/n сумма по i от 1 до n M(Xi)|<эпселен)=1.



В частности, среднее арифметическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены и которые имеют одно и тоже мат. ожидание а, сходится по вероятности к мат. ожиданию а, т.е. если эпселен – любое положительное число, то: lim при n стремящемся к бесконечности P(|1/n сумма по i от 1 до n Xi – a|<эпселен)=1. Теорема Маркова. P{|X|>=t}<=1/tM|X| - неравенство Маркова. Док-во: 1) Для Д.С.В. Х. Пусть Х – Д.С.В., Р{X=xi}=pi, i=1,2,3,…,сумма по i от 1 до бесконечности pi=1. Тогда вероятность события {|X|>=t} равна сумме вероятностей pi, для которых xi находится вне промежутка (-t,t). Очевидно, для всех xi, не принадлежащих промежутку (-t,t), имеет место неравенство |xi|/t>=1. Учитывая это неравенство получаем: P{|X|>=t}=сумма по i: |xi|>=t pi <=сумма по i:|xi|>=t |xi|/t pi<=сумма по i:|xi|>=t |xi|/t pi+сумма по i:|xi|=t, равна сумме интегралов от плотности вероятности по промежуткам (-бесконечность, -t) и (t,бесконечность). На этих промежутках |x|/t*t>=1. Так как |x|/t*p(x)>=0, то интеграл от –t до t по |x|/t*p(x)dx>=0. Воспользовавшись формулой M|X|=интеграл от –бесконечности до бесконечности |x| p(x) dx, в результате преобразований получаем неравенство Маркова.



26. Центральная предельная теорема, следствия (теорема Муавра-Лапласа).

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0


27. Двумерная С.В. Двумерная функция распределения и ее свойства.

Двумерной называют С.В. (Х,Y), возможные значения которой есть пары чисел (x,y). Составляющие Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух С.В. Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны. Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны. Законом распределения Д.С.В. называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Функция распределения вероятностей Д.С.В. называют функцию F(X,Y), определяющую для каждой пары чисел (х,y) вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, при этом Y примет значение, меньшее y: F(x,y)=P(X<x,Y<y). Свойства:1) Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству: 0<=F(x,y)<=1. 2) Функция распределения есть неубывающая функция по каждому аргументу:F(x2,y)>=F(x1,y), если х2>x1. F(x,y2)>=F(x,y1), если y2>y1. 3) Имеют место предельные соотношения: 1) F(-бесконечность, у)=0, 2) F(x,-бесконечность)=0, 3) F(-бесконечность, -бесконечность)=0, 4) F(бесконечность, бесконечность)=1. 4) а) при у=бесконечность функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Х: F(x,бесконечность)=F1(x). Б) при х=бесконечность функция распределения системы становится функцией распределения составляющей У: F(бесконечность, у)=F2(y).



28. Условные и безусловные законы распределения компонент двумерной С.В.

Условные. 1) Для дискретной двумерной С.В. Пусть составляющие X и Y дискретны и имеют соответственно следующие возможные значения: x1,x2,…,xn; y1,y2,…,ym. Условным распределением составляющей Х при Y=yj (j сохраняет одно и то же значение при всех возможных значениях Х) называют совокупность условных вероятностей p(x1|yj), p(x2|yj),…,p(xn|yj). Аналогично определяется условное распределение Y. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляют соответственно по формулам: p(xj|yi)=p(xi,yj)/p(yj), p(yj|xi)=p(xi,yj)/p(xi).

29. Корреляционный момент, коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом СВ  и  называется мат. ожидание произведения отклонений этих СВ. =М((—М())*(—М()))

Для вычисления корреляционного момента может быть использована формула: =М(*)—М()*М() Доказательство: По определению =М((—М())*(—М())) По свойству мат. Ожидания =М(—М()—М()+М()*М())=М()—М()*М()—М()*М()+М()*М()=М()—М()*()

Предполагая, что  и  независимые СВ, тогда =М()—М()*М()=М()*М()—М()*М()=0; =0. Можно доказать, что если корреляционный момент=0, то СВ могут быть как зависимыми, так и независимыми.



Если  не равен 0, то СВ  и  зависимы. Если СВ  и  зависимы, то корреляционный момент может быть равным 0 и не равным 0. Можно показать, что корреляционный момент характеризует степень линейной зависимости между составляющими  и . При этом корреляционный момент зависит от размерности самих СВ. Чтобы сделать характеристику линейной связи  и  независимой от размерностей СВ  и , вводится коэффициент корреляции:

К=/()*() Коэффициент корреляции не зависит от разностей СВ  и  и только показывает степень линейной зависимости между  и , обусловленную только вероятностными свойствами  и . Коэффициент корреляции определяет наклон прямой на графике в системе координат (,) Свойства коэффициента корреляции.

1. -1<=К<=1 Если К =1, то линейная зависимость между  и  и они не СВ.

2. К>0, то с ростом одной составляющей, вторая также в среднем растет. К<0, то с убыванием одной составляющей, вторая в среднем убывает.

3. D()=D()+D()2

Доказательство.

D()=M(()2)—M2()=M(22+2)—(M()M())2=M(2)2M()+M(2)—+M2()+2M()*M()—M2()=D()+D()2(M())—M()*M()=D()+D()2



30. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность и выборка.

Мат. статистика опирается на теорию вероятностей, и ее цель – оценить характеристики генеральной совокупности по выборочным данным. Генеральной совокупностью называется вероятностное пространство {омега,S,P} (т.е. пространство элементарных событий омега с заданным на нем полем событий S и вероятностями Р) и определенная на этом пространстве С.В. Х. Случайной выборкой или просто выборкой объема n называется последовательность Х1,Х2,…,Xn, n независимых одинаково распределенных С.В., распределение каждой из которых совпадает с распределением исследуемой С.В. Х. Иными словами, случайная выборка – это результат n последовательных и независимых наблюдений над С.В. Х, представляющей генеральную совокупность.



31. Выборочное оценивание функции распределения и гистограмма.

Наиболее полная характеристика С.В. – это ее Ф.Р. Пусть х1,х2,…,xn – выборка из генеральной совокупности, представленной С.В. Х. Рассмотрим, как оценить Ф.Р. F(x) этой С.В., о которой известно только, что она непрерывна. Чтобы построить оценку F^n(x) Ф.Р. F(x), обычно располагают наблюдения xi в порядке их возрастания, т.е. находят вначале X*1=minXi, затем следующее по величине наблюдаемое значение и т.д.; если есть одинаковые значения, то их расположение не играет никакой роли. Последовательность неубывающих величин Х*1<=X*2<=X*n, полученных после упорядочения выборки, называется вариационным рядом. Существует статистическое и эмпирическое распределение. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты), где ni – сумма частот вариант попавших в i-ый интервал.

32. Точечные оценки числовых характеристик. Основные определения. Метод моментов.

Статистической оценкой  * неизвестного параметра  теоретического распределения называют функцию f(X1,X2,…,Xn) от наблюдаемых С.В. X1,X2,…,Xn. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом  *=f(x1,x2,…,xn), где х1,х2,…,xn – результаты n наблюдений над количественным признаком Х (выборка).



Несмещенной называют точечную оценку, мат. ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называют точечную оценку, мат. ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Несмещенной оценкой генеральной средней ат. ожидания) служит выборочная средняя: Хв=(сумма по i от 1 до k nixi)/n, где xi – варианта выборки, ni – частота варианты xi, n=сумма по i от 1 до k ni – объем выборки. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия: Dв=(сумма по i от 1 до k ni(Хi-Xв)*2)/n. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия: s*2=n/n-1*Dв=сумма ni(xj – Xв)*2/n-1.

Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Если распределение определяется одним параметром, то для его отыскания приравнивают один теоретический момент одному эмпирическому моменту того же порядка. Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: v1=M1. Учитывая, что v1=M(X) и М1=Хв, получим М(Х)=Хв. Если распределение определяется двумя параметрами, то приравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Учитывая, что v1=M(X),M1=Хв,мю=D(X),m2=Dв, имеем систему: М(Х)=Хв, D(X)=Dв.



33. Метод наибольшего правдоподобия.

Метод наибольшего правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию максимума функции одного или нескольких оцениваемых параметров. Д.С.В. Пусть Х – Д.С.В., которая в результате n опытов приняла возможные значения х1,х2,…,xn. Допустим, что вид закона распределения величины Х задан, но неизвестен параметр , которым определяется этот закон; требуется найти его точечную оценку *= (x1,x2,…,xn). Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение xi через р(xi;). Функцией правдоподобия Д.С.В. Х называют функцию аргумента : L (x1,x2,…,xn;)=p(x1;)*p(x2;)…p(xn;). Оценкой наибольшего правдоподобия параметра  называют такое его значение *, при котором функция правдоподобия достигает максимума. Функции L и lnL достигают максимума при одном и том же значении , поэтому вместо отыскания максимума функции L ищут, что удобнее, максимум функции lnL. Н.С.В. Пусть Х – Н.С.В., которая в результате n испытаний приняла значения х1,х2,…,xn. Допустим, что вид плотности распределения – функции f(x) – задан, но неизвестен параметр , которым определяется эта функция. Функцией правдоподобия Н.С.В. Х называют функцию аргумента : L(x1,x2,…,xn;)=f(x1;)*f(x2;)…f(xn;).



Похожие:

34. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения iconМетодические рекомендации по подготовке учащихся, получивших неудовлетворительные оценки на егэ-2009 по математике
Кзамене 06. 09, необходимо организовать дополнительные занятия, на которых повторить основные разделы школьного курса алгебры и начал...
34. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения iconДокументы
...
34. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения iconОдобрен Советом Республики 30 июня 2011 года глава 1 общие положения статья Основные термины, используемые в настоящем закон
Для целей настоящего Закона используются следующие основные термины и их определения
34. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения iconДокументы
...
34. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения iconВведение в фармакологию. Основные вопросы
Цель: знать основные термины, понятия и количественные законы фармакодинамики лекарств. Уметь использовать их для объяснения принципов,...
34. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения iconУтверждаю согласовано согласовано директор гбоу сош№672 Председатель пк председатель Совета
Положение о внутришкольной системе оценки качества образования в гбоу сош №672 (далее Положение) определяет основные цели, задачи...
34. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения iconМетоды анализа и оценки рисков. Дмитрий Анисимов
Объективный метод определения вероятности основан на вычислении частоты, с которой происходят некоторые события
34. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения iconУтверждено
Аттестация проводится в целях определения соответствия муниципального служащего замещаемой должности муниципальной службы на основе...
34. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения iconИздания. Основные элементы термины и определения Издание неофициальное Москва
Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. №184-фз «О техническом...
34. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения iconЗакон республики беларусь
Для целей настоящего Закона используются следующие основные термины и их определения
34. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения iconI. Общие положения
Он предназначен для систематизации накопленного опыта, определения направления развития педагога, для объективной оценки его профессионального...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©znanie.podelise.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы