1Треугольник 10 1 icon

1Треугольник 10 1



Название1Треугольник 10 1
страница4/5
Дата конвертации21.05.2013
Размер0.77 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5

10.9.28. [МГУ, геолог, ф-т] У треугольника известны длины сторон
а — 6, Ь — 8 и площадь S = 3\/15. Третья его сторона меньше удвоенной
медианы, проведенной к ней. Найти радиус вписанной в этот треуголь­-
ник окружности.

10.9.29. [МГУ, мех.-мат.} В треугольнике PQR медиана, проведенная из
вершины Q, имеет длину . Окружности с центрами в вершинах Р и R и радиусами 5 и 1 соответственно касаются друг друга, а вершина Q лежит на прямой, касающейся каждой из окружностей. Найти площадь S треугольника PQR, если известно, что S < 7.

10.9.30. [МГУ, эк. ф-т] Отрезки, соединяющие основания высот остро­
угольного треугольника, равны 5, 12 и 13. Найти площадь треугольника.

  1. [СП6ГТУ] Найти углы треугольника с единичным радиусом
    вписанной окружности, если известно, что длины его высот — целые
    числа.

  2. [РЭА] Из центра окружности, вписанной в треугольник со сто­
    ронами 13, 14, 15, проведена новая окружность радиуса 5. Найти длины
    хорд, отсекаемых этой новой окружностью на сторонах треугольника.

10. Равнобедренный треугольник

10.10.1. [НГУ] Радиус описанной около равнобедренного треугольника
окружности равен 25 см, а вписанной в него окружности — 12 см. Найти
стороны треугольника.

10.10.2. [СПбГУ] Даны равносторонний треугольник со стороной а
и окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и делящая
вторую сторону на две равные части. Кроме того, известно, что центр
окружности лежит на третьей стороне треугольника. Найти расстояние
от центра окружности до ближайшей вершины треугольника.

  1. [СПбГТУ] Из вершины ^ А равностороннего треугольника AВС
    проведен луч, пересекающий сторону ВС, и на нем выбрана некоторая
    точка М. Известно, что AMB = 20° и AMC = 30°. Найти угол МАВ.
    Показать, что этот угол содержит целое число градусов.

  2. [МФТИ] Равнобедренный треугольник ABC (С= 90°) и тре­-
    угольник DEF расположены так, что точка ^ D лежит на стороне АВ, а
    точка Е — на продолжении стороны АВ за точку А. Отрезок KL являет­
    ся средней линией в обоих треугольниках, и площадь четырехугольника
    ^ DKLB составляет 5/8 площади треугольника ABC. Найти угол DEF.


10.10.5* [МФТИ] Точка О — центр окружности, вписанной в равнобе-дренный треугольник (АВ = ВС). Прямая АО пересекает отрезок ВС

в точке М. Найти углы и площадь треугольника AВС, если АО = 3,

OM = 27/11.

10.10.6. [УрГУ] В равнобедренном треугольнике расстояние между точ­-ками пересечения медиан и биссектрис равно 2. Определить периметр треугольника, если длина окружности* вписанной в треугольник, рав­на 20π.

10.10.7. [МФТИ] В равнобедренный треугольник ABC (АВ = ВС)
вписана окружность. Прямая, параллельная стороне АВ и касающаяся

окружности, пересекает сторону АС в точке М такой, что МС =2/5 АС.

Найти радиус окружности, если периметр треугольника ABC равен 20.

10.10.8. [МФТИ] Основание АС равнобедренного треугольника ABC
является хордой окружности, центр которой лежит внутри треугольни­
ка ABC. Прямые, проходящие через точку В, касаются окружности в
точках D и Е. Найти площадь треугольника DBE, если АВ = ВС = 2,

A ABC = 2arcsin 1/√5 а радиус окружности равен 1

11.Прямоугольный треугольник

10.11.1. [СПбГУ] В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна а,
а биссектриса одного из острых углов a/√3. Найти катеты.

10.11.2- [МФТИ] Отрезок AD является биссектрисой прямоугольно­го треугольника ABC (С = 90°). Окружность радиусом √15 прохо­дит через точки Аг С, D и пересекает сторону АВ в точке Е так, что АЕ : АВ = 3:5. Найти площадь треугольника ABC.

10.11.3. [ГАУ] Высота и биссектриса прямоугольного треугольника, опущенные из вершины прямого угла, равны соответственно 3 и 4. Найти площадь треугольника.

10Л 1.4. [МГУ, биолог, ф-т] Прямоугольный треугольник ABC имеет периметр 54 см, причем длина катета АС больше, чем 10 см. Окружность радиуса б см, центр которой лежит на катете ВС, касается прямых АВ и АС. Найти площадь треугольника ABC.

  1. [МАТИ] В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой
    АВ и площадью 30 точка О — центр вписанной окружности. Площадь
    треугольника АОВ равна 13. Найти длины сторон треугольника ABC.

  2. [МФТИ] Медиана AM и биссектриса CD прямоугольного тре­
    угольника ABC (B = 90°) пересекаются в точке О. Найти площадь
    треугольника ABC, если СО =9, OD = 5.

10.11.7. [ГАУ] В прямоугольный треугольник, периметр которого ра­вен 36, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в от­ношении 2 : 3. Найти длину гипотенузы.

12.Трапеция

10.12.1. [НГУ] В трапеции ABCD нижнее основание AD в 2 раза боль­
ше верхнего, равного а, угол А при основании равен 45°, а окружности,
построенные на боковых сторонах как на диаметрах, касаются друг дру-­
га. Найти площадь трапеции.

10.12.2. [МФТИ] Длины боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD
равны соответственно 8см и 10см, а длина основания ВС равна 2 см.
Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны АВ. Найти
площадь трапеции.

  1. [МФТИ] В равнобедренную трапецию вписана окружность. Рас­
    стояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапе­
    ции относится к радиусу как 3 к 5. Найти отношение периметра трапеции
    к длине вписанной окружности.

  2. [НижГУ] Вычислить площадь равнобедренной трапеции, если
    ее высота равна h, а боковая сторона видна из центра описанной окруж­-
    ности под углом 60°.




  1. [МФТИ] В трапеции ABCD: BAD = 90°, ADC = 30°.
    Окружность, центр которой лежит на отрезке ^ AD, касается прямых АВ,
    ВС
    и CD. Найти площадь трапеции, если известно, что радиус окруж­-
    ности равен R.

  2. [СПбГУ] В равнобедренной трапеции диагональ перпендику­-
    лярна к боковой стороне, большее основание равно a, а сумма меньшего
    основания и боковой стороны равна 3a/4. Найти меньшее основание.

  3. [СПбГУ] В равнобедренной трапеции ABCD диагональ АС
    перпендикулярна к боковой стороне CD. Найти ВС, если известно, что

AD=a, AB2 + BC2 = (11/16)a2.

10.12.8. [МФТИ] Основание AD трапеции ABCD (AD \\BC, AD > ВС)
является диаметром окружности, которая касается прямой CD в точке

D и пересекает сторону АВ в точке L так, что АВ=4/√3. Радиус


окружности равен R, CAD = 45°. Найти площадь трапеции.

10.12.9. [СПбГУ] Средняя линия трапеции делится одной из диагоналей
в отношении к и делит трапецию на две части, меньшая из которых —
площади S. Найти площадь трапеции.

245

  1. [НГУ] В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС биссек­триса угла BAD проходит через середину М стороны CD, Известно, что АВ = 5, AM = 4. Найти длину отрезка ВМ.

  2. [НГУ) Точки М и N выбраны соответственно на основании ВС и боковой стороне CD трапеции ABCD. Прямые AM и BN пересе­каются в точке К, причем АК = 3КМ, KN = 2ВК. Найти отношение CN : ND.

  3. [НГУ] Длины оснований AD и ВС трапеции ABCD соответ­ственно равны 9 и 3. Точка Е — середина боковой стороны ЛБ, точка F — середина CD. Биссектриса угла BAD пересекает среднюю линию EF в точке Р, а биссектриса угла ADC — в точке Q. Длины отрезковEQ, PQ и PF равны. Найти площадь трапеции.

  4. [СПбГУ] Сумма длин оснований трапеции равна 9, а д длины диагоналей равны 5 и \/34- Углы при большем основании острые. Найти площадь трапеции.

  5. [МИЭМ] В трапеции длины диагоналей равны 2√61 и 3\/41, а длины оснований — 10 и 15. Найти площадь трапеции. Можно ли в эту трапецию вписать окружность? Можно ли вокруг этой трапеции описать окружность?




  1. [НижГУ] Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее осно­вания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, длина боковой стороны ВС равна b. Найти площадь трапеции.

  2. [КГУ] Сумма квадратов параллельных сторон трапеции рав­на 288. Определить длину, отрезка, параллельного этим сторонам и де­лящего площадь трапеции пополам.

  3. [МАТИ] В равнобедренной трапеции ABCD длина основания AD равна 14, а длина основания ВС — 2. Окружность касается сторон АВ, ВС и CD, причем боковая сторона делится точкой касания в отно­шении 1 : 9, считая от меньшего основания. Найти радиус окружности,

10Л2.18. [МФТИ] На диагонали BD прямоугольной трапеции ABCD (D = 90°, ВС || AD) взята точка Q так, что BQ : QD =1 : 3. Окруж­ность с центром в точке Q касается прямой AD и пересекает прямую ВС и точках Р и М. Найти длину стороны АВ, если ВС = 9, AD = 8, РМ = 4.

  1. [МПГУ] Боковая сторона неравнобедренной трапеции равна 12 см и образует с ео основанием угол 60°. Основания трапеции равны 16см и 40см. Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований.

10.12.20.[МАТИ] В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС через вершину А проведена прямая, которая пересекает диагональ BD и точке Е и боковую сторону CD в точке К, причем BE: ED = 1 : 2 и СК : KD = 1:4. Найти отношение длин оснований трапеции.

  1. [МГУ, мех.-мат.] В трапеции ^ ABCD с основаниями AD и ВС
    диагонали АС и BD пересекаются в точке Е. Вокруг треугольника ЕСВ
    описана окружность, а касательная к этой окружности, проведенная в
    точке £, пересекает прямую AD в точке F таким образом, что точки А,
    D
    и F лежат последовательно на этой прямой. Известно, что AF = а,
    AD =b. Найти EF.

  2. [МГУ, биолог, ф-т] В трапеции ABCD даны основания AD = 4,
    ВС = 1 и углы A = arctg2, D = arctg3. Найти радиус окружности,
    вписанной в треугольник СВЕ, где Е — точка пересечения диагоналей.

  3. [МГУ, филолог, ф-т] В трапеции ^ ABCD боковая сторона АВ
    перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С
    и D и касается прямой АВ в точке Е. Найти расстояние от точки Е до
    прямой CD, если AD = 4, а ВС = 3.

  4. [МАТИ] В трапеции ABCD с площадью 36см2 через вершину
    А проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке К, а
    основание ВС — в точке L, причем ВК : KD = 1 : 3 и BL : LC =2:1.
    Найти площадь четырехугольника DKLC.

10.12.25. [МАТИ] В трапеции ABCD длины оснований AD и ВС
относятся как 2:1. На боковой стороне АВ выбрана точка К так,
что АК : KB = 1 : 2, а на боковой стороне CD — точка L так, что
CL : LD = 1 : 2. В каком отношении отрезок KL делит диагональ BD?

[МАТИ] В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС биссек­-
триса угла А пересекает боковую сторону CD в точке Е. Найти площадь
треугольника АВ, если AD = 2ВС, AD = АВ, а площадь трапеции
равна 18 см2.

[ГАУ] В трапеции ABCD точка Е лежит на боковой стороне
^ CD. О — пересечение диагонали BD и отрезка АЕ, Найти площадь
треугольника DOE, если DE : СЕ = 1:2, АО = 2ОЕ, а площадь
треугольника АО В равна 1.

[ГАУ] Длины основания KN, диагонали КМ и боковой сто-­
роны KL трапеции KLMN равны а, а длина диагонали LN равна b.
Найти длину боковой стороны MN.

[ГАУ] Длина диагонали BD трапеции ABCD равна m, a
длина боковой стороны AD равна п. Найти длину основания CD, если
известно, что длины основания, диагонали и боковой стороны трапеции,
выходящих из вершины ^ С, равны между собой.


10.12,30. [ГАУ] Около трапеции с основаниями AD и ВС описана окружность радиуса 5 см. Центр описанной окружности лежит на осно­вании AD. Основание ВС = 6 см. Определить диагональ АС данной трапеции.

13. Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат

  1. [БГУ] Отношение периметра параллелограмма к его большей
    диагонали равно к, к > 2. Найти углы параллелограмма, если известно,
    что большая диагональ делит угол параллелограмма в отношении 1:2.

  2. [МФТИ] Квадрат ABCD и окружность расположены так, что
    окружность касается прямой АС в точке (7, а центр окружности лежит
    по ту же сторону от прямой АС, что и точка D, Касательные к окруж-­
    ности, проведенные из точки D, образуют угол 120°. Найти отношение
    площади квадрата к площади круга, ограниченного данной окружно-­
    стью.




  1. [МФТИ] Из вершины В тупого угла ромба ABCD проведе­-
    ны высоты ВM и BN. В четырехугольник BMDN вписана окружность
    радиуса 1см. Найти сторону ромба, если ABC = 2arctg2.

  2. [ГАНГ] Внутри параллелограмма расположены две одинако-­
    вые окружности радиусом 6, каждая из которых касается боковой сто­
    роны параллелограмма, обоих оснований и второй окружности. Боковая
    сторона делится точкой касания в отношении 9 : 4. Найти площадь па-­
    раллелограмма.

  3. [МФТИ] Внутри параллелограмма ABCD взята точка К так,
    что треугольник CKD равносторонний. Известно, что расстояния от
    точки К до прямых AD, AB и ВС равны соответственно 3, 6 и 5. Найти
    периметр параллелограмма.

10.13.6. [МГУ, хим. ф-т] В параллелограмме ABCD угол BCD ра­
вен 150°, а основание AD равно 8. Найти радиус окружности, касающей-­
ся прямой CD, проходящей через вершину А и пересекающей основание
AD на расстоянии 2 от точки D.

  1. [МГУ, эк. ф-т] Окружность, диаметр которой равен 10, про-­
    ходит через соседние вершины А и В прямоугольника ABCD. Длина
    касательной, проведенной из точки С к окружности, равна 3, АВ = 1.
    Найти все возможные значения, которые может принимать длина сто-­
    роны ВС.

  2. [ГАНГ] Стороны параллелограмма равны 4 см и б см. Из се­
    редины большей стороны параллельная сторона видна под углом 45°.
    Найти площадь параллелограмма.

10.13,9. [МФТИ] На продолжении стороны AD ромба ABCD за точку D взята точка К. Прямые АС и ВК пересекаются в точке Q. Известно, что АК = 14 и что точки А, В и Q лежат на окружности радиуса 6, центр которой принадлежит отрезку АК. Найти длину отрезка ВК.

14.Окружность и круг

10.14.1. [НГУ] Расстояние между центрами двух окружностей равно 5r.
Одна из окружностей имеет радиус r, а вторая — 7r. Хорда большей
окружности касается меньшей окружности и делится точкой касания в
отношении 1 : 6. Найти длину этой хорды.

10.14.2. [МФТИ] В окружности проведены хорды АВ и АС, причем
АВ =2 см, АС = 1см, CAB = 120°. Найти длину той хорды окружно-­
сти, которая делит угол CAB пополам.

10.14.3. [СПбГУ] Три круга радиусов r,3r/2,3r/2 расположены на плоско­
сти так, что каждые два из них касаются друг друга внешним образом.
Определить радиус круга, в который вписана данная система трех кру­-
гов.

  1. [СПбГУ] Два круга с одинаковыми радиусами r касаются
    друг друга внешним образом и касаются третьего круга с радиусом R
    внутренним образом. Найдите радиус круга, одновременно касающегося
    этих трех кругов (из двух возможных случаев рассмотрите тот, в кото­-
    ром центр четвертого круга и центр круга с радиусом ^ R лежат по разные
    стороны от точки касания кругов с радиусом r).

  2. [МГУ, псих, ф-т] Точки К, L, M, Nt Р расположены после­-
    довательно на окружности радиуса 22. Найти площадь треугольника
    KLM, если LM || KN, KM \\ NP, MN \\ LP, а угол LOM равен 45°,
    где О — точка пересечения хорд LN и МР.




  1. [МГУ, геолог, ф-t] В окружность с центром О вписана трапеция
    KLMN, в которой KL || NM, KL = 8, MN = 2, угол NKL равен 45°.
    Хорда МА окружности пересекает отрезок KL в точке В такой, что
    KB = 3. Найти расстояние от точки О до прямой АК.

  2. [МГУ, мех.-мат.] В круге радиуса 1 проведены хорды АВ = 2
    и ВС = 10/7. Найти площадь части круга, лежащей внутри угла ABC, если угол ВАС острый.

10.14.8. [МГУ, мех.-мат.] Две окружности с центрами А и 5 радиуса­
ми 2 и 1 соответственно касаются друг друга. Точка С лежит на пря-

мой, касающейся каждой из этих окружностей, и находится на

от середины отрезка АВ. Найти площадь S треугольника ABC, если из­вестно, что S > 2.

10.14.9. [МГУ, биолог, ф-т] Дана окружность, диаметр MN которой ра­
вен 16. На касательной к этой окружности в точке М отложен отрезок
МР, длина которого больше, чем 15. Из точки Р проведена вторая ка­-
сательная к окружности, пересекающая прямую MN в точке Q. Найти
площадь треугольника MPQ, если его периметр равен 72.

  1. [МГУ, геолог, ф-т] В окружность с центром О вписана трапеция
    ABCD, в которой AD | ВС, AD = 7, ВС = 3, BCD = 120°, хорда ВM
    окружности пересекает отрезок AD в точке N такой, что ND = 2. Найти
    площадь треугольника ВОМ.

  2. [МГУ, геолог, ф-т] В окружность с центром О вписана трапеция
    ABCD, в которой АВ |j DC, АВ = 5, DC = 1, угол ABC равен 60°.
    Точка К лежит на отрезке АВ, причем АК = 2. Прямая С К пересекает
    окружность в точке F, отличной от С. Найти площадь треугольника
    OFC.

10.14.12. [МГУ, псих, ф-т] Трапеции ABCD и ACDE с равными больши­-
ми основаниями, соответственно AD и АС, вписаны в одну окружность.
Чему равен радиус этой окружности, если площадь треугольника ADE
равна 1 + 3, а угол COD равен 60°, где О — точка пересечения диаго-­
налей трапеции ABCD?

15. Задачи на доказательство

  1. [УрГУ] Треугольник АОВ повернут в своей плоскости вокруг
    точки О на 90°, причем вершина ^ А перешла в вершину А1, а В — в B1.
    Доказать, что в треугольнике ОАВ1 медиана, опущенная на сторону
    АВ1, перпендикулярна A1B, а в треугольнике ОА1 В медиана) опущен­
    ная на сторону А1 В, перпендикулярна АВ1.

  2. [МАИ] Доказать, что в любом треугольнике ABC =.

где ha — высота, опущенная из вершины А, 2р — периметр треугольни­ка.

1   2   3   4   5




Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©znanie.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы